Nous avons effectué un choix dans les réponses élèves à partir de critères des textes injonctifs : exhaustivité (il ne manque rien, il y a toutes les informations pour réaliser la figure, il n’y en a pas trop…), exactitude (les informations données sont exactes, précises du point de vue du vocabulaire utilisé, des notations, des expressions mathématiques…), clarté et ordre (du point de vue de la chronologie de la construction).

Examinons maintenant sept réponses d'élèves à l’exercice choisi, auxquelles nous avons ajouté deux "bonnes réponses". Nous allons faire une analyse rapide des réponses retenues (les prénoms ont été changés pour éviter des commentaires de la part des élèves et l’orthographe a été rétablie) :

 

Pierre : Prendre le milieu de la longueur du rectangle puis, placer un point O. Tracer le cercle passant par A et B.

Jacques : Place le point O au milieu du segment [AB]. Trace le cercle de centre O et de rayon 4cm.

Vincent  : Trace un rond de 8 cm de longueur et 8 cm de largeur, place sur le rectangle, avant de faire le rond, le point O qui est au milieu à 4 cm.

Laurence  :Tu vas à la ligne AB et tu fais un point O. Tu prends ton compas et tu fais un cercle de 4 cm.

Denise  : Place ton compas sur le centre O, trace ton cercle.

René : puis tracez un cercle dont le point O est le centre et qui passe par les points A et B.

François  : Appelle O le milieu du segment [AB]. Trace le cercle de diamètre [AB].

Hervé  : Trace un rond de milieu O qui est à la moitié de A et de B.

Laetitia :Trace un cercle qui a pour centre le point O. Ce cercle a 8 centimètres de rayon.

 

Les réponses de Jacques et de François sont des "bonnes réponses" ajoutées par l’enseignant.

Beaucoup de ces textes ne sont pas exhaustifs, ils sont inexacts par l’utilisation d’un vocabulaire non géométrique ou une mauvaise utilisation des notations. La position du centre du cercle est rarement mentionnée explicitement. L’ordre de construction n’est pas toujours respecté.

La phrase de Pierre n’est pas très claire et contient des implicites (O est le milieu de [AB] et O le centre du cercle), on peut remarquer que la longueur du rectangle est utilisée comme segment et non comme une mesure (polysémie du mot longueur).

La réponse de Vincent montre que le concept de cercle n’est pas acquis (longueur largeur, pas de centre ni de rayon), l’ordre d’exécution n’est pas respecté.

La réponse de Laurence contient des implicites sur la position du point O en tant que milieu et en tant que centre du cercle. Cette phrase aurait pu être éliminée car l’analyse rejoint celle de la phrase de Pierre.

Denise ne tient pas compte du destinataire qui n’a pas la figure et oublie de donner le rayon.

La construction de la phrase de René montre que cet élève a une certaine maîtrise du français mais il oublie de tenir compte de ce que sait déjà le destinataire du message (il ne connaît ni l’existence ni la position de O).

La réponse d’Hervé n’utilise pas le bon vocabulaire et ne précise pas le rayon du cercle.

Laetitia se trompe de mesure pour le rayon ou de vocabulaire (confusion entre rayon et diamètre), elle ne donne pas la position de O.

 

À partir de cette sélection, nous avons proposé aux élèves d’analyser des réponses en leur donnant le support suivant :

 

Fiche élève CONSIGNE : travail individuel Voici les réponses de 9 élèves de sixième à l'exercice que tu viens de faire. Réponds aux questions suivantes : (tu vas remplacer le professeur) 1°) Quelles sont les réponses justes  ? Laquelle te semble la meilleure  ? Pourquoi  ? 2°) Peux-tu dire ce qui ne va pas dans les autres réponses  ? Pour chacune de ces réponses, précise quels conseils tu donnerais pour que ces élèves améliorent leur texte.   Pierre :   Prendre le milieu de la longueur du rectangle puis, placer un point O. Tracer le cercle passant par A et B. Jacques :  Place le point O au milieu du segment [AB]. Trace le cercle de centre O et de rayon 4cm. Vincent  : Trace un rond de 8 cm de longueur et 8 cm de largeur, place sur le rectangle, avant de faire le rond, le point O qui est au milieu à 4 cm. Laurence : Tu vas à la ligne AB et tu fais un point O. Tu prends ton compas et tu fais un cercle de 4cm. Denise :   Place ton compas sur le centre O, trace ton cercle. René :    puis tracez un cercle dont le point O est le centre et qui passe par les points A et B. François : Appelle O le milieu du segment [AB]. Trace le cercle de diamètre [AB]. Hervé :    Trace un rond de milieu O qui est à la moitié de A et de B. Laetitia :   Trace un cercle qui a pour centre le point O. Ce cercle a 8 centimètres de rayon.   En groupe de 3 ou 4 : 15 min avec résultat écrit Avez-vous tous obtenu les mêmes réponses pour les questions 1°) et 2°) ? Décidez ensemble des réponses que vous rejetez. Un membre du groupe devra être capable de dire pourquoi vous les avez éliminées.

 Présentation détaillée de l'activité et commentaires : 

En préalable (juste avant l'activité), nous avons donné à refaire le texte de description de figure de l'évaluation de début d'année. À la fin de la première séance, les groupes qui ont terminé l'analyse avant les autres ont reçu comme consigne de critiquer leurs textes.

Première séance :

Pour rechercher ce qui va et ce qui ne va pas dans les textes proposés, les élèves ont été mis en groupes de 3 ou 4. Un élève, choisi au hasard dans chaque groupe, a présenté le travail du groupe au reste de la classe. La production du groupe a été recopiée par leurs auteurs sur une grande affiche et ces affiches sont restées au mur pendant la deuxième séance où, avec l’aide de l’enseignant, les élèves ont indiqué "les phrases qui veulent dire la même chose".

L’enseignant a recopié les phrases, mais il aurait été certainement plus judicieux de les entourer de couleurs différentes directement sur les affiches.

 

Observation et commentaires sur le déroulement :

Au début, les élèves reproduisent des commentaires de professeur comme “révise”, “bien”, “moyen”, “tu es incompréhensible”, “vous ne savez pas vous exprimer”, “juste mais...”, “bien mais pas assez précisé”... .  En fait, le "tu vas remplacer le professeur"  de la consigne les invite effectivement à ce genre d’attitude, ce qui en dit long sur les représentations qu’ont les élèves du travail de correction d’un professeur ! Ces commentaires renvoient à un jugement de valeur sans qu’il y ait des points d’appui pour une correction ou des conseils de réécriture. On pourrait penser qu’il serait judicieux de changer la consigne mais il est aussi intéressant que les élèves se rendent compte que nous leur demandons d’aller plus loin dans l’analyse (le temps à consacrer à ce travail est important et il ne faut pas le réduire, au risque de n’avoir que ce type de commentaires).

À la question de préciser ce qui ne va pas, les élèves repèrent bien les défauts et les critères que nous cherchons à faire ressortir. Ceux-ci apparaissent de manière importante pour ce qui concerne les informations nécessaires (exhaustivité) et les informations justes (exactitude) et de manière plus restreinte pour ce qui relève de la clarté ou de la précision et de l’ordre.

Commentaires d’élèves

Pour éclairer notre propos voici une suite de commentaires d’élèves qui concernent les informations nécessaires, les informations justes (mesures, vocabulaire, expressions de géométrie…), l’ordre et la clarté :

Informations nécessaires

il manque des choses- il manque une phrase- phrase incomplète- il manque le milieu du diamètre- à 4cm de quoi ?- tu ne précises pas où est le point O et tu ne précises pas que le cercle est de centre O- combien de rayon  ?- quel est le rayon ?- ne dis pas où est le centre- où est O ?- quand tu le dis une fois, tu n’as pas à le dire 2- je te conseille de donner les dimensions.

Pour la réponse de Jacques, les élèves la désignent tous comme la meilleure en précisant :

la meilleure parce qu’il donne tout pour faire le dessin ; il n’oublie rien car le rayon est bien de 4cm et le point O est bien au milieu de [AB] ; excellent tu précises bien tu emploies les bons mots grâce à ton explication la personne qui veut reproduire cette figure pourra le faire avec précision.

Informations justes :

je te conseille de changer de mots- tu n’utilises pas les bons mots- pas juste parce qu’elle ne donne pas de dimensions- le cercle n’a pas 8cm de rayon mais 4cm- on ne dit pas rond mais cercle- le cercle n’a ni largeur ni longueur- mesures pas bonnes- un cercle de 4cm de quoi ? on ne dit pas ligne mais segment ou longueur- problème de codage : diamètre AB (François)- un diamètre n’a pas de lettre mais 8cm- ce n’est pas une longueur ici mais un segment (François)- utilise le langage mathématique- où places-tu ton compas ? longueur : mal employé.

Ordre :

souvent les phrases ne sont pas dans le bon ordre (Pierre)- pour Vincent il faut mettre les phrases dans l’ordre- pour René d’abord il faut placer le point O et après faire le cercle.

Clarté :

pour Jacques sa phrase est très claire- à 4cm de quoi ? -imprécis quand il dit longueur du rectangle laquelle ? assez long ta réponse- des fois, on ne comprend pas ce qu’il veut dire- la meilleure c’est celle de Jacques, car il explique très bien.

 

À la suite de la mise en commun, les élèves ont élaboré avec l’enseignant le texte ci-dessous pour faire la synthèse du premier travail. Celui-ci est écrit dans le cahier de leçon :

 

 

 

Deuxième séance :

Il est clair pour chacun de nous qu'un texte "expert" a d’autres caractéristiques, nous avons donc prolongé ce travail. Pour que nos élèves de sixième en prennent aussi conscience, nous avons utilisé une activité de la brochure de l’IREM de Rennes "Lire et écrire des textes mathématiques. Vers la rédaction de démonstrations" (voir annexe 1). Cette activité comporte deux fiches élèves.

Dans la première fiche, les élèves doivent construire une même figure en utilisant soit un texte élève, soit un texte professeur (ils ont le choix). Dans la deuxième fiche, en comparant les deux textes (en les mettant en regard, phrase par phrase) les élèves sont amenés à essayer de caractériser un texte professeur. Les auteurs de la brochure ont retenu pour un texte professeur les six caractéristiques suivantes  :

·             le texte est dépersonnalisé

·             la description de la figure ne se fait pas en terme de mouvements

·             le texte ne mentionne pas l’outil utilisé

·             le vocabulaire mathématique est utilisé systématiquement

·             les relations entre objets mathématiques sont favorisées[4]

·             cette description ne se fait pas grâce à un repérage par rapport à la feuille de papier.

 

Observation et commentaires sur le déroulement :

 

La construction de la figure est bien réussie par l’ensemble des élèves. Certains utilisent seulement le texte professeur, d’autres le texte élève, avec des allers-retours vers le texte professeur quand l'un des deux textes ne leur paraît pas clair. Il est à noter que, sur l'ensemble des deux classes, deux élèves n’ont pas compris la consigne et vont essayer de faire deux dessins, un pour chaque texte.

Dans le contexte de cette comparaison de textes, la question de la fiche 2 "Est-il nécessaire de donner le nom de l’instrument utilisé ?" n’a pas été bien comprise : bien que certains aient écrit "pour tracer un cercle nous devinons qu’il faut utiliser le compas", beaucoup ont quand même répondu OUI. Malgré les différentes questions de cette fiche, les élèves ont eu beaucoup de difficultés à repérer des différences entre les deux textes. Ils repèrent facilement ce qui ne va pas dans le texte élève, mais ils n’arrivent pas à exprimer de façon plus générale les caractéristiques du texte professeur, à savoir :

·             emploi systématique d’un vocabulaire mathématique sans préciser les instruments à utiliser, sans décrire tous les gestes effectués, contrairement à un texte élève,

·             liste de constructions élémentaires (non spécifiées, dépersonnalisées) et non description d’actions, comme le texte élève. En effet, on doit savoir que le lecteur mathématicien déduira les scripts d’action à partir du résultat à obtenir. Ce qui distingue ce type d’écrit d’autres textes (de type injonctif) que les élèves ont l’habitude de manipuler (recette de cuisine par exemple).

À la suite de ce travail, une fiche d’aide à l’évaluation d’un texte de construction (où apparaissent les critères déjà cités) est fournie par l’enseignant (mais elle a été déjà, en partie, constituée avec les élèves), puis elle est utilisée pour écrire d’autres textes de construction de figure.

Une première version de cette fiche faisait apparaître des phrases négatives comme "je n’ai pas indiqué les instruments utilisés", formulation qui a mis certains élèves dans l'embarras lorsqu'il s'est agi pour eux de répondre par OUI ou par NON. Une dernière version, qui sera définitive, inclut trois critères non-mathématiques : l’orthographe, le mode et temps des verbes et la présentation. La fiche présentée en annexe 2 est le résultat d’un travail réalisé en plusieurs étapes, mais nous n’avons pas fait apparaître de séparation entre ce qui relève du mathématique et ce qui est plutôt de l’ordre du contrat pédagogique. On pourrait penser qu’il aurait été judicieux de distinguer plus nettement ce qui relève de l’exigence mathématique d’une part (en faisant apparaître les critères d’exhaustivité, d’exactitude, d’ordre et de clarté …) et ce qui paraît plutôt relever de la maîtrise du français (orthographe, énonciation, présentation d’un texte…) d’autre part. Mais il nous semble justement que l’énonciation, par la prise en compte d’un destinataire, permet à l’élève de veiller à ne rien oublier, de respecter un ordre de construction et un vocabulaire mathématique. Enfin, le fait de revenir à la ligne pour chaque instruction est un moyen de prendre en compte les critères d’ordre et de clarté, caractéristiques de ce type de texte mathématique.

 

Troisième séance :

 

Pour tester l'efficacité de la fiche de critères et entraîner à son exploitation, la quatrième heure est consacrée à un travail d’écriture. On propose aux élèves plusieurs figures, composées chacune d'un cercle et d'un carré ; ils doivent alors écrire un texte de construction, le vérifier à l'aide de la fiche et le rendre à l’enseignant. (voir Annexe 3).

L'analyse de cette 3^e séance montre qu'il n’est pas nécessaire de proposer des figures complexes avec des programmes de construction trop longs ; par contre, il est essentiel qu’il y ait une relation entre les objets mathématiques et il est intéressant qu’il y ait plusieurs constructions possibles (faire le carré puis le cercle ou inversement). Les textes à écrire étant a priori courts, la vérification se fait assez rapidement et facilement.

 

Conclusion :

 

Il est à remarquer que la leçon sur le cercle avait été faite. Les élèves avaient donc des modèles d’écriture dans les exercices de constructions et dans la leçon. Cependant, l'activité préalable d'écriture d'un premier texte de construction (celui de l'évaluation) a montré que ces modèles n’avaient visiblement pas été acquis par la majorité des élèves. En revanche, à l'issue des quatre séances décrites, tous les élèves sauf un ont réussi à produire des textes corrects, c’est-à-dire qui correspondent aux critères énoncés plus haut.

Il ressort de ce travail une certaine satisfaction tant pour l’enseignant que pour les élèves. En effet, il a favorisé une évolution visible des représentations des élèves, mais surtout il leur a permis de prendre conscience de leurs progrès au fur et à mesure que les textes étaient écrits et, par ce fait, il a créé une certaine motivation.

En fin de sixième, les textes des élèves ne sont bien sûr pas encore des textes parfaits, mais une meilleure prise en compte d’un destinataire (imaginaire ou non) est faite et les critères d’exhaustivité, d’ordre et d’exactitude sont mieux compris et respectés. Les textes ne sont plus des textes de description (il y a, à gauche en haut...), mais sont bien devenus des programmes de constructions avec des ordres donnés (tracer, placer, appeler...). Les élèves se sont construit ces représentations d’un programme de construction par la confrontation à des textes experts, la comparaison à leurs propres textes, avec l’aide de l’enseignant, mais sans que celui-ci impose un formalisme rigide.

Un bénéfice de ce genre d’activité est qu'il donne du sens à un travail d’écriture et de réécriture : on peut revenir sur un texte, le retravailler pour qu’il soit plus compréhensible... On peut craindre que les élèves se lassent vite, qu’ils ne veuillent pas reprendre leurs textes car souvent, pour eux, un travail rendu est fini, on n’y touche plus. Les textes doivent donc être très courts et les figures, tout en étant différentes, se ressembler suffisamment pour permettre des réinvestissements sur des supports différents.

Ce travail avec les élèves prend du temps (beaucoup !), mais c'est un investissement à long terme. Repérer avec les élèves les caractéristiques des textes mathématiques est essentiel, car, d’eux-mêmes, les élèves ne sont pas tous capables, par mimétisme et adhésion à un modèle, de s’approprier ces critères. Ces activités sont utiles aux élèves, car elles favorisent une mise à distance des textes et des figures correspondantes, et nous espérons qu’en quatrième, quand ces élèves aborderont la démonstration, ils maîtriseront mieux le langage mathématique et seront capables d’effectuer des allers-retours entre le texte et la figure.

Ecrire et réécrire, ce n’est pas réservé à la classe de français, car la façon d’écrire un texte en mathématiques dépend des savoirs mathématiques et pas seulement de connaissances linguistiques.

On ne fait pas du français en mathématiques, mais des mathématiques, en utilisant le français des mathématiques. Il ne s'agit pas de juxtaposer des compétences (mathématiques et langagières), mais ce sont leurs interactions qui permettent une évolution dans l'abstraction … et le rond peut enfin devenir cercle !

 

 

Hélène Zucchetta,

professeur de mathématiques en collège

ANNEXE 1

Fiches reprises de "Lire et écrire des textes mathématiques.

Vers des démonstrations" de l’IREM de Rennes.

 

 

FICHE 1 TEXTE ET FIGURE DE GEOMETRIE

Voici un programme de construction d'une même figure, rédigé de deux façons différentes.
Construis la figure sur cette feuille.

a) Texte élève :

Je trace un segment [AB] de 4,5 cm de long. Avec le compas, je prends un écartement de 6,5 cm. Je pointe sur le point A. Je reprends le compas en écartant de 3 cm. Je pointe sur le point B.

J'obtiens le point C et je relie A à C et B à C. Je prends l’équerre et je place l'angle droit sur la droite (AC) je la fais glisser jusqu'au point B et je trace la droite passant par B.

b) Texte professeur :

Trace un segment [AB] de 4, 5 cm. Trace le cercle de centre A et de rayon 6,5 cm, puis un arc de cercle de centre B et de rayon 3 cm ; on appelle C l’un des points d'intersection. Trace les segments [AC] et [BC]. Trace la droite perpendiculaire à la droite (AC) passant par B.

 

FICHE 2                          TEXTE ELEVE, TEXTE PROFESSEUR, DEBAT

Recherche individuelle :

On veut établir les différences entre les deux textes de la fiche 1.

Pour cela, réponds aux questions suivantes :

a) Quel texte as-tu utilisé pour faire la figure ?

b) Ecris les mots dont tu ne comprends pas le sens ou ceux dont tu n'es pas sûr.

c) Devant la phrase du texte élève, écris la phrase correspondante du texte professeur (et inversement) :

ÉLEVE	PROFESSEUR
	Trace un segment [AB] de 4,5 cm.
Avec le compas, je prends un écartement de 6,5 cm. je le pointe sur A.
	Trace un arc de cercle de centre B et de rayon 3cm.
Je prends l'équerre, je place l'angle droit sur la droite (AC), je la fais glisser jusqu'au point B et je trace la droite passant par B..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d) A ton avis, manque-t-il des consignes dans l'un des deux textes de la fiche 1 ?

e) Pour un tracé, est-il nécessaire de donner le nom de l'instrument utilisé ?

f) Quelles différences remarques-tu entre les deux textes ?

 

 En Groupe :

a) Avez-vous tous obtenu la même figure  ? Si non pourquoi  ?

b) Pour un tracé, est-il nécessaire de donner le nom de l'instrument utilisé  ?

c) Quelles sont les différences entre les deux textes  ?

ANNEXE 2

Exemple de fiche élaborée en classe

2e et 3e Séances :

Nom                                                                      date :

J'évalue mon texte de programme de construction de figure.

Je mets une croix dans la case qui correspond à mon texte

Dans mon texte de construction de figure...	OUI	NON	n°
J'ai mis toutes les informations utiles à la construction, je n’ai rien oublié.			1
Je n'ai mis aucune information en trop.			2
Mes consignes sont écrites dans un ordre qui permet de refaire la figure			3
Toutes les informations que je donne sont justes,			4
J’ai donné les bonnes mesures,			5
J’ai utilisé le bon codage,			6
J'ai utilisé le vocabulaire de géométrie (ex : segment, droite, cercle, rayon, diamètre...)			7
J’ai écrit des phrases en utilisant les expressions de géométrie (ex : la droite passant par...parallèle à ... ;        le cercle de centre... et de rayon...  etc.).			8
Mes consignes sont claires et faciles à comprendre.			9
J’écris les phrases sans parler des instruments.			10
J'ai mis tous les verbes au même temps et mode (ex : tous à l'infinitif, tous à l'impératif, tous …)			11
Je reviens à la ligne à chaque nouvelle instruction.			12
J’ai vérifié que je ne fais pas de fautes d’orthographe dans les mots mathématiques.			13

 

Je note ici les numéros des lignes auxquelles j'ai répondu "NON".

Ce sont les points sur lesquels je dois encore m'améliorer.